Da Piazza di Spagna per Villa Borghese puoi salire a Trinità dei Monti, voltare a sinistra e andare sempre dritto; oppure prendere Via del Babuino, magari con una piccola deviazione verso la parallela e suggestiva Via Margutta, fino a Piazza del Popolo; lì trovi le scale per salire al Pincio, che in pratica è una parte di Villa Borghese.
Per i Musei Vaticani ti conviene andare la mattina molto presto perché ci sono sempre code lunghissime, devi prendere la metro A da Spagna, direzione Battistini, e scendere a Ottaviano. Ma sinceramente non so se è una buona idea in soli due giorni, richiedono tempo, impegno, una spesa notevole e code interminabili.
Come posti tipici per esempio c'è il Filettaro a Santa Barbara in Via dei Giubbonari, specializzato in baccalà fritto, non è vicinissimo a Piazza di Spagna ma comunque ci puoi arrivare a piedi. Invece del solito fast-food che puoi trovare identico a Rio de Janeiro come a Copenaghen, ti consiglio per un pasto veloce di mangiare pizza a taglio (ce ne sono un'infinità per tutta Roma) o pizza bianca (che non è esattamente pizza ma una specie di pane, che si compra in panetteria, e si può mangiare da sola o con ripieno di affettati).